Integralen av $$$\frac{\rho v^{2}}{2}$$$ med avseende på $$$v$$$

Bestäm $$$\int \frac{\rho v^{2}}{2}\, dv$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ med $$$c=\frac{\rho}{2}$$$ och $$$f{\left(v \right)} = v^{2}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\rho v^{2}}{2} d v}}} = {\color{red}{\left(\frac{\rho \int{v^{2} d v}}{2}\right)}}$$

Tillämpa potensregeln $$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ med $$$n=2$$$:

$$\frac{\rho {\color{red}{\int{v^{2} d v}}}}{2}=\frac{\rho {\color{red}{\frac{v^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{2}=\frac{\rho {\color{red}{\left(\frac{v^{3}}{3}\right)}}}{2}$$

Alltså,

$$\int{\frac{\rho v^{2}}{2} d v} = \frac{\rho v^{3}}{6}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{\rho v^{2}}{2} d v} = \frac{\rho v^{3}}{6}+C$$

$$$\int \frac{\rho v^{2}}{2}\, dv = \frac{\rho v^{3}}{6} + C$$$A