Integralen av $$$\frac{1}{x^{2} + 4 x + 5}$$$

Bestäm $$$\int \frac{1}{x^{2} + 4 x + 5}\, dx$$$.

Kvadratkomplettera (stegen kan ses »): $$$x^{2} + 4 x + 5 = \left(x + 2\right)^{2} + 1$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} + 4 x + 5} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2} + 1} d x}}}$$

Låt $$$u=x + 2$$$ vara.

Då $$$du=\left(x + 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = du$$$.

Integralen blir

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2} + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}}$$

Integralen av $$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$ är $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}}$$

Kom ihåg att $$$u=x + 2$$$:

$$\operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\left(x + 2\right)}} \right)}$$

Alltså,

$$\int{\frac{1}{x^{2} + 4 x + 5} d x} = \operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{1}{x^{2} + 4 x + 5} d x} = \operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{x^{2} + 4 x + 5}\, dx = \operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)} + C$$$A