Integralen av $$$\ln\left(z^{2}\right)$$$

Bestäm $$$\int \ln\left(z^{2}\right)\, dz$$$.

Inmatningen skrivs om: $$$\int{\ln{\left(z^{2} \right)} d z}=\int{2 \ln{\left(z \right)} d z}$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(z \right)}\, dz = c \int f{\left(z \right)}\, dz$$$ med $$$c=2$$$ och $$$f{\left(z \right)} = \ln{\left(z \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{2 \ln{\left(z \right)} d z}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(z \right)} d z}\right)}}$$

För integralen $$$\int{\ln{\left(z \right)} d z}$$$, använd partiell integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Låt $$$\operatorname{u}=\ln{\left(z \right)}$$$ och $$$\operatorname{dv}=dz$$$.

Då gäller $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(z \right)}\right)^{\prime }dz=\frac{dz}{z}$$$ (stegen kan ses ») och $$$\operatorname{v}=\int{1 d z}=z$$$ (stegen kan ses »).

Alltså,

$$2 {\color{red}{\int{\ln{\left(z \right)} d z}}}=2 {\color{red}{\left(\ln{\left(z \right)} \cdot z-\int{z \cdot \frac{1}{z} d z}\right)}}=2 {\color{red}{\left(z \ln{\left(z \right)} - \int{1 d z}\right)}}$$

Tillämpa konstantregeln $$$\int c\, dz = c z$$$ med $$$c=1$$$:

$$2 z \ln{\left(z \right)} - 2 {\color{red}{\int{1 d z}}} = 2 z \ln{\left(z \right)} - 2 {\color{red}{z}}$$

Alltså,

$$\int{2 \ln{\left(z \right)} d z} = 2 z \ln{\left(z \right)} - 2 z$$

Förenkla:

$$\int{2 \ln{\left(z \right)} d z} = 2 z \left(\ln{\left(z \right)} - 1\right)$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{2 \ln{\left(z \right)} d z} = 2 z \left(\ln{\left(z \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(z^{2}\right)\, dz = 2 z \left(\ln\left(z\right) - 1\right) + C$$$A