Integralen av $$$\frac{y}{x}$$$ med avseende på $$$x$$$

Bestäm $$$\int \frac{y}{x}\, dx$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=y$$$ och $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{y}{x} d x}}} = {\color{red}{y \int{\frac{1}{x} d x}}}$$

Integralen av $$$\frac{1}{x}$$$ är $$$\int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$$:

$$y {\color{red}{\int{\frac{1}{x} d x}}} = y {\color{red}{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}}$$

Alltså,

$$\int{\frac{y}{x} d x} = y \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{y}{x} d x} = y \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{y}{x}\, dx = y \ln\left(\left|{x}\right|\right) + C$$$A