Integralen av $$$y \sin{\left(x y \right)}$$$ med avseende på $$$x$$$

Bestäm $$$\int y \sin{\left(x y \right)}\, dx$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=y$$$ och $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x y \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{y \sin{\left(x y \right)} d x}}} = {\color{red}{y \int{\sin{\left(x y \right)} d x}}}$$

Låt $$$u=x y$$$ vara.

Då $$$du=\left(x y\right)^{\prime }dx = y dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = \frac{du}{y}$$$.

Alltså,

$$y {\color{red}{\int{\sin{\left(x y \right)} d x}}} = y {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{y} d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=\frac{1}{y}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$y {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{y} d u}}} = y {\color{red}{\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{y}}}$$

Integralen av sinus är $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

Kom ihåg att $$$u=x y$$$:

$$- \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{x y}} \right)}$$

Alltså,

$$\int{y \sin{\left(x y \right)} d x} = - \cos{\left(x y \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{y \sin{\left(x y \right)} d x} = - \cos{\left(x y \right)}+C$$

$$$\int y \sin{\left(x y \right)}\, dx = - \cos{\left(x y \right)} + C$$$A