Integralen av $$$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}$$$

Bestäm $$$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}\, dx$$$.

Låt $$$u=\frac{1}{x}$$$ vara.

Då $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$.

Integralen kan omskrivas som

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- u e^{u}\right)d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=-1$$$ och $$$f{\left(u \right)} = u e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- u e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{u e^{u} d u}\right)}}$$

För integralen $$$\int{u e^{u} d u}$$$, använd partiell integration $$$\int \operatorname{p} \operatorname{dv} = \operatorname{p}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dp}$$$.

Låt $$$\operatorname{p}=u$$$ och $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$.

Då gäller $$$\operatorname{dp}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (stegen kan ses ») och $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$ (stegen kan ses »).

Alltså,

$$- {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}=- {\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}=- {\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- u e^{u} + {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - u e^{u} + {\color{red}{e^{u}}}$$

Kom ihåg att $$$u=\frac{1}{x}$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} - {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\frac{1}{x}}}} - {\color{red}{\frac{1}{x}}} e^{{\color{red}{\frac{1}{x}}}}$$

Alltså,

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x} = e^{\frac{1}{x}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$$

Förenkla:

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x} = \frac{\left(x - 1\right) e^{\frac{1}{x}}}{x}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x} = \frac{\left(x - 1\right) e^{\frac{1}{x}}}{x}+C$$

$$$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}\, dx = \frac{\left(x - 1\right) e^{\frac{1}{x}}}{x} + C$$$A