Integralen av $$$\frac{x}{2 x^{2} - 1}$$$

Bestäm $$$\int \frac{x}{2 x^{2} - 1}\, dx$$$.

Låt $$$u=2 x^{2} - 1$$$ vara.

Då $$$du=\left(2 x^{2} - 1\right)^{\prime }dx = 4 x dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$x dx = \frac{du}{4}$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{\frac{x}{2 x^{2} - 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{4 u} d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=\frac{1}{4}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{4 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{4}\right)}}$$

Integralen av $$$\frac{1}{u}$$$ är $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{4}$$

Kom ihåg att $$$u=2 x^{2} - 1$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{4} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(2 x^{2} - 1\right)}}}\right| \right)}}{4}$$

Alltså,

$$\int{\frac{x}{2 x^{2} - 1} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{2 x^{2} - 1}\right| \right)}}{4}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{x}{2 x^{2} - 1} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{2 x^{2} - 1}\right| \right)}}{4}+C$$

$$$\int \frac{x}{2 x^{2} - 1}\, dx = \frac{\ln\left(\left|{2 x^{2} - 1}\right|\right)}{4} + C$$$A