Integralen av $$$\frac{1}{3 u^{4}}$$$

Bestäm $$$\int \frac{1}{3 u^{4}}\, du$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=\frac{1}{3}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{4}}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{3 u^{4}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u^{4}} d u}}{3}\right)}}$$

Tillämpa potensregeln $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ med $$$n=-4$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u^{4}} d u}}}}{3}=\frac{{\color{red}{\int{u^{-4} d u}}}}{3}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{-4 + 1}}{-4 + 1}}}}{3}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{u^{-3}}{3}\right)}}}{3}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{1}{3 u^{3}}\right)}}}{3}$$

Alltså,

$$\int{\frac{1}{3 u^{4}} d u} = - \frac{1}{9 u^{3}}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{1}{3 u^{4}} d u} = - \frac{1}{9 u^{3}}+C$$

$$$\int \frac{1}{3 u^{4}}\, du = - \frac{1}{9 u^{3}} + C$$$A