Integralen av $$$\sin^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}$$$

Bestäm $$$\int \sin^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}\, dx$$$.

Skriv om integranden:

$${\color{red}{\int{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} d x}}}$$

Multiplicera täljare och nämnare med en cosinus och uttryck allt annat i termer av sinus, med hjälp av formeln $$$\cos^2\left(\alpha \right)=-\sin^2\left(\alpha \right)+1$$$ med $$$\alpha=x$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}} d x}}}$$

Låt $$$u=\sin{\left(x \right)}$$$ vara.

Då $$$du=\left(\sin{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \cos{\left(x \right)} dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$\cos{\left(x \right)} dx = du$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{\frac{\sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u^{3}}{1 - u^{2}} d u}}}$$

Eftersom graden hos täljaren inte är mindre än graden hos nämnaren, utför polynomdivision (stegen kan ses »):

$${\color{red}{\int{\frac{u^{3}}{1 - u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- u + \frac{u}{1 - u^{2}}\right)d u}}}$$

Integrera termvis:

$${\color{red}{\int{\left(- u + \frac{u}{1 - u^{2}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{u d u} + \int{\frac{u}{1 - u^{2}} d u}\right)}}$$

Tillämpa potensregeln $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ med $$$n=1$$$:

$$\int{\frac{u}{1 - u^{2}} d u} - {\color{red}{\int{u d u}}}=\int{\frac{u}{1 - u^{2}} d u} - {\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}=\int{\frac{u}{1 - u^{2}} d u} - {\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}$$

Låt $$$v=1 - u^{2}$$$ vara.

Då $$$dv=\left(1 - u^{2}\right)^{\prime }du = - 2 u du$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$u du = - \frac{dv}{2}$$$.

Alltså,

$$- \frac{u^{2}}{2} + {\color{red}{\int{\frac{u}{1 - u^{2}} d u}}} = - \frac{u^{2}}{2} + {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 v}\right)d v}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ med $$$c=- \frac{1}{2}$$$ och $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$:

$$- \frac{u^{2}}{2} + {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 v}\right)d v}}} = - \frac{u^{2}}{2} + {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2}\right)}}$$

Integralen av $$$\frac{1}{v}$$$ är $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$- \frac{u^{2}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2} = - \frac{u^{2}}{2} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2}$$

Kom ihåg att $$$v=1 - u^{2}$$$:

$$- \frac{u^{2}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2} = - \frac{u^{2}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(1 - u^{2}\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

Kom ihåg att $$$u=\sin{\left(x \right)}$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{u}}^{2}}\right| \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{u}}^{2}}{2} = - \frac{\ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{\sin{\left(x \right)}}}^{2}}\right| \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\sin{\left(x \right)}}}^{2}}{2}$$

Alltså,

$$\int{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{\sin^{2}{\left(x \right)} - 1}\right| \right)}}{2} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$$

Förenkla:

$$\int{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} d x} = - \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2}$$

Lägg till integrationskonstanten (och ta bort konstanten från uttrycket):

$$\int{\sin^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} d x} = - \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \sin^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}\, dx = \left(- \ln\left(\cos{\left(x \right)}\right) + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}\right) + C$$$A