Integralen av $$$\frac{t}{2 x - 5}$$$ med avseende på $$$x$$$

Bestäm $$$\int \frac{t}{2 x - 5}\, dx$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=t$$$ och $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{2 x - 5}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{t}{2 x - 5} d x}}} = {\color{red}{t \int{\frac{1}{2 x - 5} d x}}}$$

Låt $$$u=2 x - 5$$$ vara.

Då $$$du=\left(2 x - 5\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

Integralen blir

$$t {\color{red}{\int{\frac{1}{2 x - 5} d x}}} = t {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=\frac{1}{2}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$:

$$t {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}} = t {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{2}\right)}}$$

Integralen av $$$\frac{1}{u}$$$ är $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\frac{t {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = \frac{t {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

Kom ihåg att $$$u=2 x - 5$$$:

$$\frac{t \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} = \frac{t \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(2 x - 5\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

Alltså,

$$\int{\frac{t}{2 x - 5} d x} = \frac{t \ln{\left(\left|{2 x - 5}\right| \right)}}{2}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{t}{2 x - 5} d x} = \frac{t \ln{\left(\left|{2 x - 5}\right| \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{t}{2 x - 5}\, dx = \frac{t \ln\left(\left|{2 x - 5}\right|\right)}{2} + C$$$A