Integralen av $$$\sin{\left(6 c \right)}$$$

Bestäm $$$\int \sin{\left(6 c \right)}\, dc$$$.

Låt $$$u=6 c$$$ vara.

Då $$$du=\left(6 c\right)^{\prime }dc = 6 dc$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dc = \frac{du}{6}$$$.

Integralen blir

$${\color{red}{\int{\sin{\left(6 c \right)} d c}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{6} d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=\frac{1}{6}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{6} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{6}\right)}}$$

Integralen av sinus är $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{6} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{6}$$

Kom ihåg att $$$u=6 c$$$:

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{6} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(6 c\right)}} \right)}}{6}$$

Alltså,

$$\int{\sin{\left(6 c \right)} d c} = - \frac{\cos{\left(6 c \right)}}{6}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\sin{\left(6 c \right)} d c} = - \frac{\cos{\left(6 c \right)}}{6}+C$$

$$$\int \sin{\left(6 c \right)}\, dc = - \frac{\cos{\left(6 c \right)}}{6} + C$$$A