Integralen av x*sin(5)*cos(x)

Kalkylatorn beräknar integralen/stamfunktionen för $$$x \sin{\left(5 \right)} \cos{\left(x \right)}$$$, med visade steg.

Relaterad kalkylator: Kalkylator för bestämda och oegentliga integraler

Din inmatning

Bestäm $$$\int x \sin{\left(5 \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$$$.

De trigonometriska funktionerna förväntar sig att argumentet är i radianer. För att ange argumentet i grader, multiplicera det med pi/180, t.ex. skriv 45° som 45*pi/180, eller använd motsvarande funktion med ett 'd' tillagt, t.ex. skriv sin(45°) som sind(45).

Lösning

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=\sin{\left(5 \right)}$$$ och $$$f{\left(x \right)} = x \cos{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{x \sin{\left(5 \right)} \cos{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\sin{\left(5 \right)} \int{x \cos{\left(x \right)} d x}}}$$

För integralen $$$\int{x \cos{\left(x \right)} d x}$$$, använd partiell integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Låt $$$\operatorname{u}=x$$$ och $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(x \right)} dx$$$.

Då gäller $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (stegen kan ses ») och $$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(x \right)} d x}=\sin{\left(x \right)}$$$ (stegen kan ses »).

Alltså,

$$\sin{\left(5 \right)} {\color{red}{\int{x \cos{\left(x \right)} d x}}}=\sin{\left(5 \right)} {\color{red}{\left(x \cdot \sin{\left(x \right)}-\int{\sin{\left(x \right)} \cdot 1 d x}\right)}}=\sin{\left(5 \right)} {\color{red}{\left(x \sin{\left(x \right)} - \int{\sin{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Integralen av sinus är $$$\int{\sin{\left(x \right)} d x} = - \cos{\left(x \right)}$$$:

$$\sin{\left(5 \right)} \left(x \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\sin{\left(x \right)} d x}}}\right) = \sin{\left(5 \right)} \left(x \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(- \cos{\left(x \right)}\right)}}\right)$$

Alltså,

$$\int{x \sin{\left(5 \right)} \cos{\left(x \right)} d x} = \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(5 \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{x \sin{\left(5 \right)} \cos{\left(x \right)} d x} = \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(5 \right)}+C$$

Svar

$$$\int x \sin{\left(5 \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(5 \right)} + C$$$A

Please try a new game Rotatly

Integralen av $$$x \sin{\left(5 \right)} \cos{\left(x \right)}$$$

Din inmatning

Lösning

Svar