Integralen av $$$\sin{\left(x + y \right)}$$$ med avseende på $$$x$$$

Bestäm $$$\int \sin{\left(x + y \right)}\, dx$$$.

Låt $$$u=x + y$$$ vara.

Då $$$du=\left(x + y\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = du$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{\sin{\left(x + y \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}$$

Integralen av sinus är $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

Kom ihåg att $$$u=x + y$$$:

$$- \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{\left(x + y\right)}} \right)}$$

Alltså,

$$\int{\sin{\left(x + y \right)} d x} = - \cos{\left(x + y \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\sin{\left(x + y \right)} d x} = - \cos{\left(x + y \right)}+C$$

$$$\int \sin{\left(x + y \right)}\, dx = - \cos{\left(x + y \right)} + C$$$A