Integralen av $$$e - \frac{1}{x}$$$

Bestäm $$$\int \left(e - \frac{1}{x}\right)\, dx$$$.

Integrera termvis:

$${\color{red}{\int{\left(e - \frac{1}{x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{e d x} - \int{\frac{1}{x} d x}\right)}}$$

Tillämpa konstantregeln $$$\int c\, dx = c x$$$ med $$$c=e$$$:

$$- \int{\frac{1}{x} d x} + {\color{red}{\int{e d x}}} = - \int{\frac{1}{x} d x} + {\color{red}{e x}}$$

Integralen av $$$\frac{1}{x}$$$ är $$$\int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$$:

$$e x - {\color{red}{\int{\frac{1}{x} d x}}} = e x - {\color{red}{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}}$$

Alltså,

$$\int{\left(e - \frac{1}{x}\right)d x} = e x - \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\left(e - \frac{1}{x}\right)d x} = e x - \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}+C$$

$$$\int \left(e - \frac{1}{x}\right)\, dx = \left(e x - \ln\left(\left|{x}\right|\right)\right) + C$$$A