Integralen av $$$e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}$$$

Bestäm $$$\int e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$$$.

Använd potensreduceringsformeln $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$ med $$$\alpha=x$$$:

$${\color{red}{\int{e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right) e^{x}}{2} d x}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=\frac{1}{2}$$$ och $$$f{\left(x \right)} = \left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right) e^{x}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right) e^{x}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right) e^{x} d x}}{2}\right)}}$$

Expand the expression:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right) e^{x} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\left(e^{x} \cos{\left(2 x \right)} + e^{x}\right)d x}}}}{2}$$

Integrera termvis:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(e^{x} \cos{\left(2 x \right)} + e^{x}\right)d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x} + \int{e^{x} d x}\right)}}}{2}$$

För integralen $$$\int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}$$$, använd partiell integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Låt $$$\operatorname{u}=\cos{\left(2 x \right)}$$$ och $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$.

Då gäller $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(2 x \right)}\right)^{\prime }dx=- 2 \sin{\left(2 x \right)} dx$$$ (stegen kan ses ») och $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (stegen kan ses »).

Alltså,

$$\frac{\int{e^{x} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}}}}{2}=\frac{\int{e^{x} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\cos{\left(2 x \right)} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) d x}\right)}}}{2}=\frac{\int{e^{x} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(e^{x} \cos{\left(2 x \right)} - \int{\left(- 2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\right)d x}\right)}}}{2}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=-2$$$ och $$$f{\left(x \right)} = e^{x} \sin{\left(2 x \right)}$$$:

$$\frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\int{e^{x} d x}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\left(- 2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\right)d x}}}}{2} = \frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\int{e^{x} d x}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(- 2 \int{e^{x} \sin{\left(2 x \right)} d x}\right)}}}{2}$$

För integralen $$$\int{e^{x} \sin{\left(2 x \right)} d x}$$$, använd partiell integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Låt $$$\operatorname{u}=\sin{\left(2 x \right)}$$$ och $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$.

Då gäller $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(2 x \right)}\right)^{\prime }dx=2 \cos{\left(2 x \right)} dx$$$ (stegen kan ses ») och $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (stegen kan ses »).

Alltså,

$$\frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\int{e^{x} d x}}{2} + {\color{red}{\int{e^{x} \sin{\left(2 x \right)} d x}}}=\frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\int{e^{x} d x}}{2} + {\color{red}{\left(\sin{\left(2 x \right)} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 2 \cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}=\frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\int{e^{x} d x}}{2} + {\color{red}{\left(e^{x} \sin{\left(2 x \right)} - \int{2 e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=2$$$ och $$$f{\left(x \right)} = e^{x} \cos{\left(2 x \right)}$$$:

$$e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + \frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\int{e^{x} d x}}{2} - {\color{red}{\int{2 e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}}} = e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + \frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\int{e^{x} d x}}{2} - {\color{red}{\left(2 \int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

Vi har kommit till en integral som vi redan har sett.

Således har vi erhållit följande enkla ekvation med avseende på integralen:

$$\frac{\int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}}{2} + \frac{\int{e^{x} d x}}{2} = e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + \frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{2} - 2 \int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x} + \frac{\int{e^{x} d x}}{2}$$

Löser vi den får vi att

$$\int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x} = \frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}$$

Alltså,

$$\frac{\int{e^{x} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}}}}{2} = \frac{\int{e^{x} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}\right)}}}{2}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$:

$$\frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{10} + \frac{{\color{red}{\int{e^{x} d x}}}}{2} = \frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{10} + \frac{{\color{red}{e^{x}}}}{2}$$

Alltså,

$$\int{e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{10} + \frac{e^{x}}{2}$$

Förenkla:

$$\int{e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + 5\right) e^{x}}{10}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + 5\right) e^{x}}{10}+C$$

$$$\int e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = \frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + 5\right) e^{x}}{10} + C$$$A