Integralen av $$$\frac{x e^{x}}{e^{2}}$$$

Bestäm $$$\int \frac{x e^{x}}{e^{2}}\, dx$$$.

Inmatningen skrivs om: $$$\int{\frac{x e^{x}}{e^{2}} d x}=\int{x e^{x - 2} d x}$$$.

För integralen $$$\int{x e^{x - 2} d x}$$$, använd partiell integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Låt $$$\operatorname{u}=x$$$ och $$$\operatorname{dv}=e^{x - 2} dx$$$.

Då gäller $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (stegen kan ses ») och $$$\operatorname{v}=\int{e^{x - 2} d x}=e^{x - 2}$$$ (stegen kan ses »).

Integralen kan omskrivas som

$${\color{red}{\int{x e^{x - 2} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot e^{x - 2}-\int{e^{x - 2} \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(x e^{x - 2} - \int{e^{x - 2} d x}\right)}}$$

Låt $$$u=x - 2$$$ vara.

Då $$$du=\left(x - 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = du$$$.

Integralen blir

$$x e^{x - 2} - {\color{red}{\int{e^{x - 2} d x}}} = x e^{x - 2} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$x e^{x - 2} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = x e^{x - 2} - {\color{red}{e^{u}}}$$

Kom ihåg att $$$u=x - 2$$$:

$$x e^{x - 2} - e^{{\color{red}{u}}} = x e^{x - 2} - e^{{\color{red}{\left(x - 2\right)}}}$$

Alltså,

$$\int{x e^{x - 2} d x} = x e^{x - 2} - e^{x - 2}$$

Förenkla:

$$\int{x e^{x - 2} d x} = \left(x - 1\right) e^{x - 2}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{x e^{x - 2} d x} = \left(x - 1\right) e^{x - 2}+C$$

$$$\int \frac{x e^{x}}{e^{2}}\, dx = \left(x - 1\right) e^{x - 2} + C$$$A