Integralen av $$$e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}$$$

Bestäm $$$\int e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}\, dx$$$.

Låt $$$u=\sqrt{2} \sqrt{x}$$$ vara.

Då $$$du=\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = \sqrt{2} du$$$.

Integralen blir

$${\color{red}{\int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}$$

För integralen $$$\int{u e^{u} d u}$$$, använd partiell integration $$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$.

Låt $$$\operatorname{g}=u$$$ och $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$.

Då gäller $$$\operatorname{dg}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (stegen kan ses ») och $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$ (stegen kan ses »).

Alltså,

$${\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}={\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}={\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$u e^{u} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = u e^{u} - {\color{red}{e^{u}}}$$

Kom ihåg att $$$u=\sqrt{2} \sqrt{x}$$$:

$$- e^{{\color{red}{u}}} + {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}} = - e^{{\color{red}{\sqrt{2} \sqrt{x}}}} + {\color{red}{\sqrt{2} \sqrt{x}}} e^{{\color{red}{\sqrt{2} \sqrt{x}}}}$$

Alltså,

$$\int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x} = \sqrt{2} \sqrt{x} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} - e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}$$

Förenkla:

$$\int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x} = \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x} = \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}+C$$

$$$\int e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}\, dx = \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} + C$$$A