Integralen av $$$\frac{e^{- y}}{y}$$$

Bestäm $$$\int \frac{e^{- y}}{y}\, dy$$$.

Låt $$$u=- y$$$ vara.

Då $$$du=\left(- y\right)^{\prime }dy = - dy$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dy = - du$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- y}}{y} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}}$$

Denna integral (Exponentialintegralen) har ingen sluten form:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

Kom ihåg att $$$u=- y$$$:

$$\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(- y\right)}} \right)}$$

Alltså,

$$\int{\frac{e^{- y}}{y} d y} = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{e^{- y}}{y} d y} = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)}+C$$

$$$\int \frac{e^{- y}}{y}\, dy = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)} + C$$$A