Integralen av $$$e^{- t \left(a + s\right)}$$$ med avseende på $$$t$$$

Bestäm $$$\int e^{- t \left(a + s\right)}\, dt$$$.

Låt $$$u=- t \left(a + s\right)$$$ vara.

Då $$$du=\left(- t \left(a + s\right)\right)^{\prime }dt = - (a + s) dt$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dt = - \frac{du}{a + s}$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{- a - s} d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=\frac{1}{- a - s}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{- a - s} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{- a - s}}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{- a - s} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{- a - s}$$

Kom ihåg att $$$u=- t \left(a + s\right)$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{- a - s} = \frac{e^{{\color{red}{\left(- t \left(a + s\right)\right)}}}}{- a - s}$$

Alltså,

$$\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t} = \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{- a - s}$$

Förenkla:

$$\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t} = - \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{a + s}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t} = - \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{a + s}+C$$

$$$\int e^{- t \left(a + s\right)}\, dt = - \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{a + s} + C$$$A