Integralen av $$$e^{\frac{y}{x}}$$$ med avseende på $$$y$$$

Bestäm $$$\int e^{\frac{y}{x}}\, dy$$$.

Låt $$$u=\frac{y}{x}$$$ vara.

Då $$$du=\left(\frac{y}{x}\right)^{\prime }dy = \frac{dy}{x}$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dy = x du$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{y}{x}} d y}}} = {\color{red}{\int{x e^{u} d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=x$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{x e^{u} d u}}} = {\color{red}{x \int{e^{u} d u}}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$x {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = x {\color{red}{e^{u}}}$$

Kom ihåg att $$$u=\frac{y}{x}$$$:

$$x e^{{\color{red}{u}}} = x e^{{\color{red}{\frac{y}{x}}}}$$

Alltså,

$$\int{e^{\frac{y}{x}} d y} = x e^{\frac{y}{x}}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{e^{\frac{y}{x}} d y} = x e^{\frac{y}{x}}+C$$

$$$\int e^{\frac{y}{x}}\, dy = x e^{\frac{y}{x}} + C$$$A