Integralen av $$$e^{\frac{u}{v}}$$$ med avseende på $$$u$$$

Bestäm $$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du$$$.

Låt $$$w=\frac{u}{v}$$$ vara.

Då $$$dw=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime }du = \frac{du}{v}$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$du = v dw$$$.

Integralen kan omskrivas som

$${\color{red}{\int{e^{\frac{u}{v}} d u}}} = {\color{red}{\int{v e^{w} d w}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ med $$$c=v$$$ och $$$f{\left(w \right)} = e^{w}$$$:

$${\color{red}{\int{v e^{w} d w}}} = {\color{red}{v \int{e^{w} d w}}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{w} d w} = e^{w}$$$:

$$v {\color{red}{\int{e^{w} d w}}} = v {\color{red}{e^{w}}}$$

Kom ihåg att $$$w=\frac{u}{v}$$$:

$$v e^{{\color{red}{w}}} = v e^{{\color{red}{\frac{u}{v}}}}$$

Alltså,

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}+C$$

$$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du = v e^{\frac{u}{v}} + C$$$A