Integralen av $$$e^{- 9 x}$$$

Bestäm $$$\int e^{- 9 x}\, dx$$$.

Låt $$$u=- 9 x$$$ vara.

Då $$$du=\left(- 9 x\right)^{\prime }dx = - 9 dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = - \frac{du}{9}$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{e^{- 9 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{9}\right)d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=- \frac{1}{9}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{9}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{9}\right)}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{9} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{9}$$

Kom ihåg att $$$u=- 9 x$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{9} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- 9 x\right)}}}}{9}$$

Alltså,

$$\int{e^{- 9 x} d x} = - \frac{e^{- 9 x}}{9}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{e^{- 9 x} d x} = - \frac{e^{- 9 x}}{9}+C$$

$$$\int e^{- 9 x}\, dx = - \frac{e^{- 9 x}}{9} + C$$$A