|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Integralen av $$$\csc{\left(x \right)}$$$
Relaterad kalkylator: Kalkylator för bestämda och oegentliga integraler
Din inmatning
Bestäm $$$\int \csc{\left(x \right)}\, dx$$$.
Lösning
Skriv om kosekansen som $$$\csc\left(x\right)=\frac{1}{\sin\left(x\right)}$$$:
$${\color{red}{\int{\csc{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} d x}}}$$
Skriv om sinus med hjälp av dubbelvinkelformeln $$$\sin\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$$:
$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$
Multiplicera täljare och nämnare med $$$\sec^2\left(\frac{x}{2} \right)$$$:
$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$
Låt $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$ vara.
Då $$$du=\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} dx = 2 du$$$.
Integralen kan omskrivas som
$${\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$
Integralen av $$$\frac{1}{u}$$$ är $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:
$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$
Kom ihåg att $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$:
$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}}}\right| \right)}$$
Alltså,
$$\int{\csc{\left(x \right)} d x} = \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}$$
Lägg till integrationskonstanten:
$$\int{\csc{\left(x \right)} d x} = \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}+C$$
Svar
$$$\int \csc{\left(x \right)}\, dx = \ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right|\right) + C$$$A