Integralen av $$$s x^{- m} x^{n}$$$ med avseende på $$$x$$$

Bestäm $$$\int s x^{- m} x^{n}\, dx$$$.

Inmatningen skrivs om: $$$\int{s x^{- m} x^{n} d x}=\int{s x^{- m + n} d x}$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=s$$$ och $$$f{\left(x \right)} = x^{- m + n}$$$:

$${\color{red}{\int{s x^{- m + n} d x}}} = {\color{red}{s \int{x^{- m + n} d x}}}$$

Tillämpa potensregeln $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ med $$$n=- m + n$$$:

$$s {\color{red}{\int{x^{- m + n} d x}}}=s {\color{red}{\frac{x^{\left(- m + n\right) + 1}}{\left(- m + n\right) + 1}}}=s {\color{red}{\frac{x^{- m + n + 1}}{- m + n + 1}}}$$

Alltså,

$$\int{s x^{- m + n} d x} = \frac{s x^{- m + n + 1}}{- m + n + 1}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{s x^{- m + n} d x} = \frac{s x^{- m + n + 1}}{- m + n + 1}+C$$

$$$\int s x^{- m} x^{n}\, dx = \frac{s x^{- m + n + 1}}{- m + n + 1} + C$$$A