Integralen av $$$4 y e^{- y^{2}}$$$

Bestäm $$$\int 4 y e^{- y^{2}}\, dy$$$.

Låt $$$u=- y^{2}$$$ vara.

Då $$$du=\left(- y^{2}\right)^{\prime }dy = - 2 y dy$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$y dy = - \frac{du}{2}$$$.

Integralen kan omskrivas som

$${\color{red}{\int{4 y e^{- y^{2}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=-2$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

Kom ihåg att $$$u=- y^{2}$$$:

$$- 2 e^{{\color{red}{u}}} = - 2 e^{{\color{red}{\left(- y^{2}\right)}}}$$

Alltså,

$$\int{4 y e^{- y^{2}} d y} = - 2 e^{- y^{2}}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{4 y e^{- y^{2}} d y} = - 2 e^{- y^{2}}+C$$

$$$\int 4 y e^{- y^{2}}\, dy = - 2 e^{- y^{2}} + C$$$A