Integralen av $$$48 \sin{\left(3 t \right)}$$$

Bestäm $$$\int 48 \sin{\left(3 t \right)}\, dt$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ med $$$c=48$$$ och $$$f{\left(t \right)} = \sin{\left(3 t \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{48 \sin{\left(3 t \right)} d t}}} = {\color{red}{\left(48 \int{\sin{\left(3 t \right)} d t}\right)}}$$

Låt $$$u=3 t$$$ vara.

Då $$$du=\left(3 t\right)^{\prime }dt = 3 dt$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dt = \frac{du}{3}$$$.

Integralen kan omskrivas som

$$48 {\color{red}{\int{\sin{\left(3 t \right)} d t}}} = 48 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{3} d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=\frac{1}{3}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$48 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{3} d u}}} = 48 {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{3}\right)}}$$

Integralen av sinus är $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$$16 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = 16 {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

Kom ihåg att $$$u=3 t$$$:

$$- 16 \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - 16 \cos{\left({\color{red}{\left(3 t\right)}} \right)}$$

Alltså,

$$\int{48 \sin{\left(3 t \right)} d t} = - 16 \cos{\left(3 t \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{48 \sin{\left(3 t \right)} d t} = - 16 \cos{\left(3 t \right)}+C$$

$$$\int 48 \sin{\left(3 t \right)}\, dt = - 16 \cos{\left(3 t \right)} + C$$$A