Integralen av $$$3 x^{2} e^{x}$$$

Bestäm $$$\int 3 x^{2} e^{x}\, dx$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=3$$$ och $$$f{\left(x \right)} = x^{2} e^{x}$$$:

$${\color{red}{\int{3 x^{2} e^{x} d x}}} = {\color{red}{\left(3 \int{x^{2} e^{x} d x}\right)}}$$

För integralen $$$\int{x^{2} e^{x} d x}$$$, använd partiell integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Låt $$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ och $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$.

Då gäller $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$ (stegen kan ses ») och $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (stegen kan ses »).

Alltså,

$$3 {\color{red}{\int{x^{2} e^{x} d x}}}=3 {\color{red}{\left(x^{2} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 2 x d x}\right)}}=3 {\color{red}{\left(x^{2} e^{x} - \int{2 x e^{x} d x}\right)}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=2$$$ och $$$f{\left(x \right)} = x e^{x}$$$:

$$3 x^{2} e^{x} - 3 {\color{red}{\int{2 x e^{x} d x}}} = 3 x^{2} e^{x} - 3 {\color{red}{\left(2 \int{x e^{x} d x}\right)}}$$

För integralen $$$\int{x e^{x} d x}$$$, använd partiell integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Låt $$$\operatorname{u}=x$$$ och $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$.

Då gäller $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (stegen kan ses ») och $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (stegen kan ses »).

Alltså,

$$3 x^{2} e^{x} - 6 {\color{red}{\int{x e^{x} d x}}}=3 x^{2} e^{x} - 6 {\color{red}{\left(x \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 1 d x}\right)}}=3 x^{2} e^{x} - 6 {\color{red}{\left(x e^{x} - \int{e^{x} d x}\right)}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$:

$$3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 {\color{red}{\int{e^{x} d x}}} = 3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 {\color{red}{e^{x}}}$$

Alltså,

$$\int{3 x^{2} e^{x} d x} = 3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 e^{x}$$

Förenkla:

$$\int{3 x^{2} e^{x} d x} = 3 \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{3 x^{2} e^{x} d x} = 3 \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x}+C$$

$$$\int 3 x^{2} e^{x}\, dx = 3 \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x} + C$$$A