Integralen av $$$\frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}$$$

Bestäm $$$\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=\frac{1}{2}$$$ och $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(8 x \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(8 x \right)} d x}}{2}\right)}}$$

Låt $$$u=8 x$$$ vara.

Då $$$du=\left(8 x\right)^{\prime }dx = 8 dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = \frac{du}{8}$$$.

Integralen kan omskrivas som

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(8 x \right)} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{8} d u}}}}{2}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=\frac{1}{8}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{8} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{8}\right)}}}{2}$$

Integralen av cosinus är $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{16} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{16}$$

Kom ihåg att $$$u=8 x$$$:

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{16} = \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(8 x\right)}} \right)}}{16}$$

Alltså,

$$\int{\frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} d x} = \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} d x} = \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}+C$$

$$$\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16} + C$$$A