Integralen av $$$\frac{x^{n}}{x}$$$ med avseende på $$$x$$$

Bestäm $$$\int \frac{x^{n}}{x}\, dx$$$.

Inmatningen skrivs om: $$$\int{\frac{x^{n}}{x} d x}=\int{x^{n - 1} d x}$$$.

Tillämpa potensregeln $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ med $$$n=n - 1$$$:

$${\color{red}{\int{x^{n - 1} d x}}}={\color{red}{\frac{x^{\left(n - 1\right) + 1}}{\left(n - 1\right) + 1}}}={\color{red}{\frac{x^{n}}{n}}}$$

Alltså,

$$\int{x^{n - 1} d x} = \frac{x^{n}}{n}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{x^{n - 1} d x} = \frac{x^{n}}{n}+C$$

$$$\int \frac{x^{n}}{x}\, dx = \frac{x^{n}}{n} + C$$$A