Integralen av $$$\frac{1}{\cosh{\left(x \right)}}$$$

Bestäm $$$\int \frac{1}{\cosh{\left(x \right)}}\, dx$$$.

Omskriv den hyperboliska funktionen i termer av exponentialfunktionen:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cosh{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}} d x}}}$$

Förenkla integranden:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{e^{x} + e^{- x}} d x}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=2$$$ och $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{e^{x} + e^{- x}}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{e^{x} + e^{- x}} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x}\right)}}$$

Simplify:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{e^{2 x} + 1} d x}}}$$

Låt $$$u=e^{x}$$$ vara.

Då $$$du=\left(e^{x}\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$e^{x} dx = du$$$.

Alltså,

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{e^{2 x} + 1} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}}$$

Integralen av $$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$ är $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}} = 2 {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}}$$

Kom ihåg att $$$u=e^{x}$$$:

$$2 \operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left({\color{red}{e^{x}}} \right)}$$

Alltså,

$$\int{\frac{1}{\cosh{\left(x \right)}} d x} = 2 \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{1}{\cosh{\left(x \right)}} d x} = 2 \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\cosh{\left(x \right)}}\, dx = 2 \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)} + C$$$A