Integralen av $$$\frac{1}{a + x}$$$ med avseende på $$$x$$$

Bestäm $$$\int \frac{1}{a + x}\, dx$$$.

Låt $$$u=a + x$$$ vara.

Då $$$du=\left(a + x\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = du$$$.

Integralen kan omskrivas som

$${\color{red}{\int{\frac{1}{a + x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

Integralen av $$$\frac{1}{u}$$$ är $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Kom ihåg att $$$u=a + x$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(a + x\right)}}}\right| \right)}$$

Alltså,

$$\int{\frac{1}{a + x} d x} = \ln{\left(\left|{a + x}\right| \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{1}{a + x} d x} = \ln{\left(\left|{a + x}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{a + x}\, dx = \ln\left(\left|{a + x}\right|\right) + C$$$A