Integralen av $$$\frac{1}{a - x^{2}}$$$ med avseende på $$$x$$$

Bestäm $$$\int \frac{1}{a - x^{2}}\, dx$$$.

Låt $$$u=x \sqrt{- \frac{1}{a}}$$$ vara.

Då $$$du=\left(x \sqrt{- \frac{1}{a}}\right)^{\prime }dx = \sqrt{- \frac{1}{a}} dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = \frac{du}{\sqrt{- \frac{1}{a}}}$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{a - x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{- a}}{a \left(u^{2} + 1\right)} d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=\frac{\sqrt{- a}}{a}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{- a}}{a \left(u^{2} + 1\right)} d u}}} = {\color{red}{\frac{\sqrt{- a} \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}{a}}}$$

Integralen av $$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$ är $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{\sqrt{- a} {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}}}{a} = \frac{\sqrt{- a} {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}}}{a}$$

Kom ihåg att $$$u=x \sqrt{- \frac{1}{a}}$$$:

$$\frac{\sqrt{- a} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{a} = \frac{\sqrt{- a} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{x \sqrt{- \frac{1}{a}}}} \right)}}{a}$$

Alltså,

$$\int{\frac{1}{a - x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{- a} \operatorname{atan}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{a}} \right)}}{a}$$

Förenkla:

$$\int{\frac{1}{a - x^{2}} d x} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{a}} \right)}}{\sqrt{- a}}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{1}{a - x^{2}} d x} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{a}} \right)}}{\sqrt{- a}}+C$$

$$$\int \frac{1}{a - x^{2}}\, dx = - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{a}} \right)}}{\sqrt{- a}} + C$$$A