Integralen av $$$\frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2}$$$

Bestäm $$$\int \frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2}\, dx$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=\frac{1}{2}$$$ och $$$f{\left(x \right)} = x e^{- \frac{3 x}{4}}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{x e^{- \frac{3 x}{4}} d x}}{2}\right)}}$$

För integralen $$$\int{x e^{- \frac{3 x}{4}} d x}$$$, använd partiell integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Låt $$$\operatorname{u}=x$$$ och $$$\operatorname{dv}=e^{- \frac{3 x}{4}} dx$$$.

Då gäller $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (stegen kan ses ») och $$$\operatorname{v}=\int{e^{- \frac{3 x}{4}} d x}=- \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}$$$ (stegen kan ses »).

Integralen blir

$$\frac{{\color{red}{\int{x e^{- \frac{3 x}{4}} d x}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(x \cdot \left(- \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}\right)-\int{\left(- \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}\right) \cdot 1 d x}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{4 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \int{\left(- \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}\right)d x}\right)}}}{2}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=- \frac{4}{3}$$$ och $$$f{\left(x \right)} = e^{- \frac{3 x}{4}}$$$:

$$- \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{4 e^{- \frac{3 x}{4}}}{3}\right)d x}}}}{2} = - \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{{\color{red}{\left(- \frac{4 \int{e^{- \frac{3 x}{4}} d x}}{3}\right)}}}{2}$$

Låt $$$u=- \frac{3 x}{4}$$$ vara.

Då $$$du=\left(- \frac{3 x}{4}\right)^{\prime }dx = - \frac{3 dx}{4}$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = - \frac{4 du}{3}$$$.

Alltså,

$$- \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\int{e^{- \frac{3 x}{4}} d x}}}}{3} = - \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{4 e^{u}}{3}\right)d u}}}}{3}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=- \frac{4}{3}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$- \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{4 e^{u}}{3}\right)d u}}}}{3} = - \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\left(- \frac{4 \int{e^{u} d u}}{3}\right)}}}{3}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{8 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{9} = - \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{8 {\color{red}{e^{u}}}}{9}$$

Kom ihåg att $$$u=- \frac{3 x}{4}$$$:

$$- \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{8 e^{{\color{red}{u}}}}{9} = - \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{8 e^{{\color{red}{\left(- \frac{3 x}{4}\right)}}}}{9}$$

Alltså,

$$\int{\frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2} d x} = - \frac{2 x e^{- \frac{3 x}{4}}}{3} - \frac{8 e^{- \frac{3 x}{4}}}{9}$$

Förenkla:

$$\int{\frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2} d x} = \frac{2 \left(- 3 x - 4\right) e^{- \frac{3 x}{4}}}{9}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2} d x} = \frac{2 \left(- 3 x - 4\right) e^{- \frac{3 x}{4}}}{9}+C$$

$$$\int \frac{x e^{- \frac{3 x}{4}}}{2}\, dx = \frac{2 \left(- 3 x - 4\right) e^{- \frac{3 x}{4}}}{9} + C$$$A