Integralen av $$$e^{\frac{x}{c}}$$$ med avseende på $$$x$$$

Bestäm $$$\int e^{\frac{x}{c}}\, dx$$$.

Låt $$$u=\frac{x}{c}$$$ vara.

Då $$$du=\left(\frac{x}{c}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{c}$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = c du$$$.

Integralen kan omskrivas som

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{c}} d x}}} = {\color{red}{\int{c e^{u} d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=c$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{c e^{u} d u}}} = {\color{red}{c \int{e^{u} d u}}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$c {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = c {\color{red}{e^{u}}}$$

Kom ihåg att $$$u=\frac{x}{c}$$$:

$$c e^{{\color{red}{u}}} = c e^{{\color{red}{\frac{x}{c}}}}$$

Alltså,

$$\int{e^{\frac{x}{c}} d x} = c e^{\frac{x}{c}}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{e^{\frac{x}{c}} d x} = c e^{\frac{x}{c}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{c}}\, dx = c e^{\frac{x}{c}} + C$$$A