Integralen av $$$\frac{e^{4 x}}{2}$$$

Bestäm $$$\int \frac{e^{4 x}}{2}\, dx$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=\frac{1}{2}$$$ och $$$f{\left(x \right)} = e^{4 x}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{4 x}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{4 x} d x}}{2}\right)}}$$

Låt $$$u=4 x$$$ vara.

Då $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = \frac{du}{4}$$$.

Integralen blir

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{4 x} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}}}{2}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=\frac{1}{4}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{4}\right)}}}{2}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{8} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{8}$$

Kom ihåg att $$$u=4 x$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{8} = \frac{e^{{\color{red}{\left(4 x\right)}}}}{8}$$

Alltså,

$$\int{\frac{e^{4 x}}{2} d x} = \frac{e^{4 x}}{8}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{e^{4 x}}{2} d x} = \frac{e^{4 x}}{8}+C$$

$$$\int \frac{e^{4 x}}{2}\, dx = \frac{e^{4 x}}{8} + C$$$A