Integralen av $$$\left(x - 4\right)^{7}$$$

Bestäm $$$\int \left(x - 4\right)^{7}\, dx$$$.

Låt $$$u=x - 4$$$ vara.

Då $$$du=\left(x - 4\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = du$$$.

Integralen blir

$${\color{red}{\int{\left(x - 4\right)^{7} d x}}} = {\color{red}{\int{u^{7} d u}}}$$

Tillämpa potensregeln $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ med $$$n=7$$$:

$${\color{red}{\int{u^{7} d u}}}={\color{red}{\frac{u^{1 + 7}}{1 + 7}}}={\color{red}{\left(\frac{u^{8}}{8}\right)}}$$

Kom ihåg att $$$u=x - 4$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{8}}{8} = \frac{{\color{red}{\left(x - 4\right)}}^{8}}{8}$$

Alltså,

$$\int{\left(x - 4\right)^{7} d x} = \frac{\left(x - 4\right)^{8}}{8}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\left(x - 4\right)^{7} d x} = \frac{\left(x - 4\right)^{8}}{8}+C$$

$$$\int \left(x - 4\right)^{7}\, dx = \frac{\left(x - 4\right)^{8}}{8} + C$$$A