Integralen av $$$x e^{- 5 x}$$$

Bestäm $$$\int x e^{- 5 x}\, dx$$$.

För integralen $$$\int{x e^{- 5 x} d x}$$$, använd partiell integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Låt $$$\operatorname{u}=x$$$ och $$$\operatorname{dv}=e^{- 5 x} dx$$$.

Då gäller $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (stegen kan ses ») och $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 5 x} d x}=- \frac{e^{- 5 x}}{5}$$$ (stegen kan ses »).

Alltså,

$${\color{red}{\int{x e^{- 5 x} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot \left(- \frac{e^{- 5 x}}{5}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 5 x}}{5}\right) \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \int{\left(- \frac{e^{- 5 x}}{5}\right)d x}\right)}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=- \frac{1}{5}$$$ och $$$f{\left(x \right)} = e^{- 5 x}$$$:

$$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{- 5 x}}{5}\right)d x}}} = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{- 5 x} d x}}{5}\right)}}$$

Låt $$$u=- 5 x$$$ vara.

Då $$$du=\left(- 5 x\right)^{\prime }dx = - 5 dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = - \frac{du}{5}$$$.

Integralen kan omskrivas som

$$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{{\color{red}{\int{e^{- 5 x} d x}}}}{5} = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{5}\right)d u}}}}{5}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=- \frac{1}{5}$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{5}\right)d u}}}}{5} = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{{\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{5}\right)}}}{5}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{25} = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{25}$$

Kom ihåg att $$$u=- 5 x$$$:

$$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{25} = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{{\color{red}{\left(- 5 x\right)}}}}{25}$$

Alltså,

$$\int{x e^{- 5 x} d x} = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25}$$

Förenkla:

$$\int{x e^{- 5 x} d x} = \frac{\left(- 5 x - 1\right) e^{- 5 x}}{25}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{x e^{- 5 x} d x} = \frac{\left(- 5 x - 1\right) e^{- 5 x}}{25}+C$$

$$$\int x e^{- 5 x}\, dx = \frac{\left(- 5 x - 1\right) e^{- 5 x}}{25} + C$$$A