Integralen av $$$\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}$$$

Bestäm $$$\int \frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}\, dx$$$.

Låt $$$u=x^{3}$$$ vara.

Då $$$du=\left(x^{3}\right)^{\prime }dx = 3 x^{2} dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$x^{2} dx = \frac{du}{3}$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} d u}}}$$

Låt $$$v=\frac{1}{u}$$$ vara.

Då $$$dv=\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime }du = - \frac{1}{u^{2}} du$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$\frac{du}{u^{2}} = - dv$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ med $$$c=-1$$$ och $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{v} d v}\right)}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$:

$$- {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = - {\color{red}{e^{v}}}$$

Kom ihåg att $$$v=\frac{1}{u}$$$:

$$- e^{{\color{red}{v}}} = - e^{{\color{red}{\frac{1}{u}}}}$$

Kom ihåg att $$$u=x^{3}$$$:

$$- e^{{\color{red}{u}}^{-1}} = - e^{{\color{red}{x^{3}}}^{-1}}$$

Alltså,

$$\int{\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x} = - e^{\frac{1}{x^{3}}}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x} = - e^{\frac{1}{x^{3}}}+C$$

$$$\int \frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}\, dx = - e^{\frac{1}{x^{3}}} + C$$$A