Integralen av $$$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$$$

Bestäm $$$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\, dx$$$.

Låt $$$u=\frac{1}{x}$$$ vara.

Då $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$.

Integralen blir

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=-1$$$ och $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - {\color{red}{e^{u}}}$$

Kom ihåg att $$$u=\frac{1}{x}$$$:

$$- e^{{\color{red}{u}}} = - e^{{\color{red}{\frac{1}{x}}}}$$

Alltså,

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x} = - e^{\frac{1}{x}}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x} = - e^{\frac{1}{x}}+C$$

$$$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\, dx = - e^{\frac{1}{x}} + C$$$A