Integralen av $$$\frac{1}{- c + c_{max}}$$$ med avseende på $$$c$$$

Bestäm $$$\int \frac{1}{- c + c_{max}}\, dc$$$.

Låt $$$u=- c + c_{max}$$$ vara.

Då $$$du=\left(- c + c_{max}\right)^{\prime }dc = - dc$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dc = - du$$$.

Integralen blir

$${\color{red}{\int{\frac{1}{- c + c_{max}} d c}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ med $$$c=-1$$$ och $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

Integralen av $$$\frac{1}{u}$$$ är $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Kom ihåg att $$$u=- c + c_{max}$$$:

$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(- c + c_{max}\right)}}}\right| \right)}$$

Alltså,

$$\int{\frac{1}{- c + c_{max}} d c} = - \ln{\left(\left|{c - c_{max}}\right| \right)}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{1}{- c + c_{max}} d c} = - \ln{\left(\left|{c - c_{max}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{- c + c_{max}}\, dc = - \ln\left(\left|{c - c_{max}}\right|\right) + C$$$A