Möjliga och faktiska rationella rötter till $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 31 x - 30$$$
Din inmatning
Hitta de rationella rötterna till $$$x^{3} - 31 x - 30 = 0$$$.
Lösning
Eftersom alla koefficienter är heltal kan vi tillämpa satsen om rationella rötter.
Den sista koefficienten (koefficienten till konstanttermen) är $$$-30$$$.
Bestäm dess faktorer (med både plus- och minustecken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$p$$$.
Den ledande koefficienten (koefficienten för termen av högst grad) är $$$1$$$.
Hitta dess faktorer (med plustecknet och minustecknet): $$$\pm 1$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$q$$$.
Bestäm alla möjliga värden för $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$, $$$\pm \frac{30}{1}$$$.
Förenkla och ta bort dubbletter (om några).
Här är de möjliga rationella rötterna: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.
Kontrollera därefter de möjliga rötterna: om $$$a$$$ är en rot till polynomet $$$P{\left(x \right)}$$$, ska resten vid divisionen av $$$P{\left(x \right)}$$$ med $$$x - a$$$ vara lika med $$$0$$$ (enligt restteoremet innebär detta att $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Kontrollera $$$1$$$: dividera $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ med $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -60$$$; således är resten $$$-60$$$.
Kontrollera $$$-1$$$: dividera $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ med $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.
Alltså är $$$-1$$$ en rot.
Kontrollera $$$2$$$: dividera $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ med $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = -84$$$; således är resten $$$-84$$$.
Kontrollera $$$-2$$$: dividera $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ med $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = 24$$$; således är resten $$$24$$$.
Kontrollera $$$3$$$: dividera $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ med $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = -96$$$; således är resten $$$-96$$$.
Kontrollera $$$-3$$$: dividera $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ med $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 36$$$; således är resten $$$36$$$.
Kontrollera $$$5$$$: dividera $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ med $$$x - 5$$$.
$$$P{\left(5 \right)} = -60$$$; således är resten $$$-60$$$.
Kontrollera $$$-5$$$: dividera $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ med $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.
$$$P{\left(-5 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.
Alltså är $$$-5$$$ en rot.
Kontrollera $$$6$$$: dividera $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ med $$$x - 6$$$.
$$$P{\left(6 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.
Alltså är $$$6$$$ en rot.
Kontrollera $$$-6$$$: dividera $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ med $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.
$$$P{\left(-6 \right)} = -60$$$; således är resten $$$-60$$$.
Kontrollera $$$10$$$: dividera $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ med $$$x - 10$$$.
$$$P{\left(10 \right)} = 660$$$; således är resten $$$660$$$.
Kontrollera $$$-10$$$: dividera $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ med $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$.
$$$P{\left(-10 \right)} = -720$$$; således är resten $$$-720$$$.
Kontrollera $$$15$$$: dividera $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ med $$$x - 15$$$.
$$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$; således är resten $$$2880$$$.
Kontrollera $$$-15$$$: dividera $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ med $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$.
$$$P{\left(-15 \right)} = -2940$$$; således är resten $$$-2940$$$.
Kontrollera $$$30$$$: dividera $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ med $$$x - 30$$$.
$$$P{\left(30 \right)} = 26040$$$; således är resten $$$26040$$$.
Kontrollera $$$-30$$$: dividera $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ med $$$x - \left(-30\right) = x + 30$$$.
$$$P{\left(-30 \right)} = -26100$$$; således är resten $$$-26100$$$.
Svar
Möjliga rationella rötter: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$A.
Faktiska rationella rötter: $$$-1$$$, $$$-5$$$, $$$6$$$A.