Möjliga och faktiska rationella rötter till $$$f{\left(x \right)} = x^{6} - 64$$$
Din inmatning
Hitta de rationella rötterna till $$$x^{6} - 64 = 0$$$.
Lösning
Eftersom alla koefficienter är heltal kan vi tillämpa satsen om rationella rötter.
Den sista koefficienten (koefficienten till konstanttermen) är $$$-64$$$.
Bestäm dess faktorer (med både plus- och minustecken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$p$$$.
Den ledande koefficienten (koefficienten för termen av högst grad) är $$$1$$$.
Hitta dess faktorer (med plustecknet och minustecknet): $$$\pm 1$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$q$$$.
Bestäm alla möjliga värden för $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{8}{1}$$$, $$$\pm \frac{16}{1}$$$, $$$\pm \frac{32}{1}$$$, $$$\pm \frac{64}{1}$$$.
Förenkla och ta bort dubbletter (om några).
Här är de möjliga rationella rötterna: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$.
Kontrollera därefter de möjliga rötterna: om $$$a$$$ är en rot till polynomet $$$P{\left(x \right)}$$$, ska resten vid divisionen av $$$P{\left(x \right)}$$$ med $$$x - a$$$ vara lika med $$$0$$$ (enligt restteoremet innebär detta att $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Kontrollera $$$1$$$: dividera $$$x^{6} - 64$$$ med $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -63$$$; således är resten $$$-63$$$.
Kontrollera $$$-1$$$: dividera $$$x^{6} - 64$$$ med $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -63$$$; således är resten $$$-63$$$.
Kontrollera $$$2$$$: dividera $$$x^{6} - 64$$$ med $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.
Alltså är $$$2$$$ en rot.
Kontrollera $$$-2$$$: dividera $$$x^{6} - 64$$$ med $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.
Alltså är $$$-2$$$ en rot.
Kontrollera $$$4$$$: dividera $$$x^{6} - 64$$$ med $$$x - 4$$$.
$$$P{\left(4 \right)} = 4032$$$; således är resten $$$4032$$$.
Kontrollera $$$-4$$$: dividera $$$x^{6} - 64$$$ med $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$.
$$$P{\left(-4 \right)} = 4032$$$; således är resten $$$4032$$$.
Kontrollera $$$8$$$: dividera $$$x^{6} - 64$$$ med $$$x - 8$$$.
$$$P{\left(8 \right)} = 262080$$$; således är resten $$$262080$$$.
Kontrollera $$$-8$$$: dividera $$$x^{6} - 64$$$ med $$$x - \left(-8\right) = x + 8$$$.
$$$P{\left(-8 \right)} = 262080$$$; således är resten $$$262080$$$.
Kontrollera $$$16$$$: dividera $$$x^{6} - 64$$$ med $$$x - 16$$$.
$$$P{\left(16 \right)} = 16777152$$$; således är resten $$$16777152$$$.
Kontrollera $$$-16$$$: dividera $$$x^{6} - 64$$$ med $$$x - \left(-16\right) = x + 16$$$.
$$$P{\left(-16 \right)} = 16777152$$$; således är resten $$$16777152$$$.
Kontrollera $$$32$$$: dividera $$$x^{6} - 64$$$ med $$$x - 32$$$.
$$$P{\left(32 \right)} = 1073741760$$$; således är resten $$$1073741760$$$.
Kontrollera $$$-32$$$: dividera $$$x^{6} - 64$$$ med $$$x - \left(-32\right) = x + 32$$$.
$$$P{\left(-32 \right)} = 1073741760$$$; således är resten $$$1073741760$$$.
Kontrollera $$$64$$$: dividera $$$x^{6} - 64$$$ med $$$x - 64$$$.
$$$P{\left(64 \right)} = 68719476672$$$; således är resten $$$68719476672$$$.
Kontrollera $$$-64$$$: dividera $$$x^{6} - 64$$$ med $$$x - \left(-64\right) = x + 64$$$.
$$$P{\left(-64 \right)} = 68719476672$$$; således är resten $$$68719476672$$$.
Svar
Möjliga rationella rötter: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$A.
Faktiska rationella rötter: $$$2$$$, $$$-2$$$A.