Möjliga och faktiska rationella rötter till $$$f{\left(x \right)} = x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$
Din inmatning
Hitta de rationella rötterna till $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49 = 0$$$.
Lösning
Eftersom alla koefficienter är heltal kan vi tillämpa satsen om rationella rötter.
Den sista koefficienten (koefficienten till konstanttermen) är $$$-49$$$.
Bestäm dess faktorer (med både plus- och minustecken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$p$$$.
Den ledande koefficienten (koefficienten för termen av högst grad) är $$$1$$$.
Hitta dess faktorer (med plustecknet och minustecknet): $$$\pm 1$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$q$$$.
Bestäm alla möjliga värden för $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{49}{1}$$$.
Förenkla och ta bort dubbletter (om några).
Här är de möjliga rationella rötterna: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$.
Kontrollera därefter de möjliga rötterna: om $$$a$$$ är en rot till polynomet $$$P{\left(x \right)}$$$, ska resten vid divisionen av $$$P{\left(x \right)}$$$ med $$$x - a$$$ vara lika med $$$0$$$ (enligt restteoremet innebär detta att $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Kontrollera $$$1$$$: dividera $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ med $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -96$$$; således är resten $$$-96$$$.
Kontrollera $$$-1$$$: dividera $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ med $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -96$$$; således är resten $$$-96$$$.
Kontrollera $$$7$$$: dividera $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ med $$$x - 7$$$.
$$$P{\left(7 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.
Alltså är $$$7$$$ en rot.
Kontrollera $$$-7$$$: dividera $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ med $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.
$$$P{\left(-7 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.
Alltså är $$$-7$$$ en rot.
Kontrollera $$$49$$$: dividera $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ med $$$x - 49$$$.
$$$P{\left(49 \right)} = 5649504$$$; således är resten $$$5649504$$$.
Kontrollera $$$-49$$$: dividera $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ med $$$x - \left(-49\right) = x + 49$$$.
$$$P{\left(-49 \right)} = 5649504$$$; således är resten $$$5649504$$$.
Svar
Möjliga rationella rötter: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$A.
Faktiska rationella rötter: $$$7$$$, $$$-7$$$A.