Möjliga och faktiska rationella rötter till $$$f{\left(x \right)} = 4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$

Hitta de rationella rötterna till $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9 = 0$$$.

Eftersom alla koefficienter är heltal kan vi tillämpa satsen om rationella rötter.

Den sista koefficienten (koefficienten till konstanttermen) är $$$9$$$.

Bestäm dess faktorer (med både plus- och minustecken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.

Detta är de möjliga värdena för $$$p$$$.

Den ledande koefficienten (koefficienten för termen av högst grad) är $$$4$$$.

Hitta dess faktorer (med plustecknet och minustecknet): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$.

Detta är de möjliga värdena för $$$q$$$.

Bestäm alla möjliga värden för $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.

Förenkla och ta bort dubbletter (om några).

Här är de möjliga rationella rötterna: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.

Kontrollera därefter de möjliga rötterna: om $$$a$$$ är en rot till polynomet $$$P{\left(x \right)}$$$, ska resten vid divisionen av $$$P{\left(x \right)}$$$ med $$$x - a$$$ vara lika med $$$0$$$ (enligt restteoremet innebär detta att $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Kontrollera $$$1$$$: dividera $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ med $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = -24$$$; således är resten $$$-24$$$.

• Kontrollera $$$-1$$$: dividera $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ med $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = -24$$$; således är resten $$$-24$$$.

• Kontrollera $$$\frac{1}{2}$$$: dividera $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ med $$$x - \frac{1}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.

  Alltså är $$$\frac{1}{2}$$$ en rot.

• Kontrollera $$$- \frac{1}{2}$$$: dividera $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ med $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.

  Alltså är $$$- \frac{1}{2}$$$ en rot.

• Kontrollera $$$\frac{1}{4}$$$: dividera $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ med $$$x - \frac{1}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$; således är resten $$$\frac{429}{64}$$$.

• Kontrollera $$$- \frac{1}{4}$$$: dividera $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ med $$$x - \left(- \frac{1}{4}\right) = x + \frac{1}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$; således är resten $$$\frac{429}{64}$$$.

• Kontrollera $$$3$$$: dividera $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ med $$$x - 3$$$.

  $$$P{\left(3 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.

  Alltså är $$$3$$$ en rot.

• Kontrollera $$$-3$$$: dividera $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ med $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.

  $$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.

  Alltså är $$$-3$$$ en rot.

• Kontrollera $$$\frac{3}{2}$$$: dividera $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ med $$$x - \frac{3}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = -54$$$; således är resten $$$-54$$$.

• Kontrollera $$$- \frac{3}{2}$$$: dividera $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ med $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = -54$$$; således är resten $$$-54$$$.

• Kontrollera $$$\frac{3}{4}$$$: dividera $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ med $$$x - \frac{3}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$; således är resten $$$- \frac{675}{64}$$$.

• Kontrollera $$$- \frac{3}{4}$$$: dividera $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ med $$$x - \left(- \frac{3}{4}\right) = x + \frac{3}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$; således är resten $$$- \frac{675}{64}$$$.

• Kontrollera $$$9$$$: dividera $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ med $$$x - 9$$$.

  $$$P{\left(9 \right)} = 23256$$$; således är resten $$$23256$$$.

• Kontrollera $$$-9$$$: dividera $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ med $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$.

  $$$P{\left(-9 \right)} = 23256$$$; således är resten $$$23256$$$.

• Kontrollera $$$\frac{9}{2}$$$: dividera $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ med $$$x - \frac{9}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{9}{2} \right)} = 900$$$; således är resten $$$900$$$.

• Kontrollera $$$- \frac{9}{2}$$$: dividera $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ med $$$x - \left(- \frac{9}{2}\right) = x + \frac{9}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{9}{2} \right)} = 900$$$; således är resten $$$900$$$.

• Kontrollera $$$\frac{9}{4}$$$: dividera $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ med $$$x - \frac{9}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$; således är resten $$$- \frac{4851}{64}$$$.

• Kontrollera $$$- \frac{9}{4}$$$: dividera $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ med $$$x - \left(- \frac{9}{4}\right) = x + \frac{9}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$; således är resten $$$- \frac{4851}{64}$$$.

Möjliga rationella rötter: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$A.

Faktiska rationella rötter: $$$\frac{1}{2}$$$, $$$- \frac{1}{2}$$$, $$$3$$$, $$$-3$$$A.