Kalkylator för satsen om rationella rötter
Hitta alla möjliga rationella nollställen för polynom steg för steg
Kalkylatorn hittar alla möjliga rationella rötter till polynomet med hjälp av satsen om rationella rötter. Därefter avgör den vilka av de möjliga rötterna som faktiskt är rötter. Detta är ett mer allmänt fall av satsen om heltalsrötter (integralrötter) (när den ledande koefficienten är $$$1$$$ eller $$$-1$$$). Steg är tillgängliga.
Din inmatning
Hitta de rationella rötterna till $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7 = 0$$$.
Lösning
Eftersom alla koefficienter är heltal kan vi tillämpa satsen om rationella rötter.
Den sista koefficienten (koefficienten till konstanttermen) är $$$7$$$.
Bestäm dess faktorer (med både plus- och minustecken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$p$$$.
Den ledande koefficienten (koefficienten för termen av högst grad) är $$$2$$$.
Hitta dess faktorer (med plustecknet och minustecknet): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$q$$$.
Bestäm alla möjliga värden för $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.
Förenkla och ta bort dubbletter (om några).
Här är de möjliga rationella rötterna: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.
Kontrollera därefter de möjliga rötterna: om $$$a$$$ är en rot till polynomet $$$P{\left(x \right)}$$$, ska resten vid divisionen av $$$P{\left(x \right)}$$$ med $$$x - a$$$ vara lika med $$$0$$$ (enligt restteoremet innebär detta att $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Kontrollera $$$1$$$: dividera $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ med $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -12$$$; således är resten $$$-12$$$.
Kontrollera $$$-1$$$: dividera $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ med $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.
Alltså är $$$-1$$$ en rot.
Kontrollera $$$\frac{1}{2}$$$: dividera $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ med $$$x - \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.
Alltså är $$$\frac{1}{2}$$$ en rot.
Kontrollera $$$- \frac{1}{2}$$$: dividera $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ med $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{4}$$$; således är resten $$$\frac{27}{4}$$$.
Kontrollera $$$7$$$: dividera $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ med $$$x - 7$$$.
$$$P{\left(7 \right)} = 4368$$$; således är resten $$$4368$$$.
Kontrollera $$$-7$$$: dividera $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ med $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.
$$$P{\left(-7 \right)} = 3780$$$; således är resten $$$3780$$$.
Kontrollera $$$\frac{7}{2}$$$: dividera $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ med $$$x - \frac{7}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{7}{2} \right)} = \frac{567}{4}$$$; således är resten $$$\frac{567}{4}$$$.
Kontrollera $$$- \frac{7}{2}$$$: dividera $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ med $$$x - \left(- \frac{7}{2}\right) = x + \frac{7}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{7}{2} \right)} = 105$$$; således är resten $$$105$$$.
Svar
Möjliga rationella rötter: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$A.
Faktiska rationella rötter: $$$-1$$$, $$$\frac{1}{2}$$$A.