Dividera $$$x^{3} \left(x - 1\right)$$$ med $$$x - 2$$$

Skriv om täljaren: $$$x^{3} \left(x - 1\right) = x^{4} - x^{3}$$$.

Skriv problemet i specialformatet (saknade termer skrivs med koefficienten noll):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-2&x^{4}- x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Steg 1

Dividera den ledande termen i täljaren med den ledande termen i delaren: $$$\frac{x^{4}}{x} = x^{3}$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$x^{3} \left(x-2\right) = x^{4}- 2 x^{3}$$$.

Subtrahera dividenden från det erhållna resultatet: $$$\left(x^{4}- x^{3}\right) - \left(x^{4}- 2 x^{3}\right) = x^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{DeepPink}x^{3}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{DeepPink}x^{4}}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DeepPink}x^{4}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DeepPink}x^{3}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&{\color{DeepPink}x^{3}} \left(x-2\right) = x^{4}- 2 x^{3}\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Steg 2

Dela den erhållna restens ledande term med delarens ledande term: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$x^{2} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}$$$.

Subtrahera resten från det erhållna resultatet: $$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}- 2 x^{2}\right) = 2 x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&{\color{Chartreuse}+x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{4}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&\\\hline\\&&{\color{Chartreuse}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Chartreuse}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Chartreuse}x^{2}}\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{Chartreuse}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&&2 x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Steg 3

Dela den erhållna restens ledande term med delarens ledande term: $$$\frac{2 x^{2}}{x} = 2 x$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$2 x \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x$$$.

Subtrahera resten från det erhållna resultatet: $$$\left(2 x^{2}\right) - \left(2 x^{2}- 4 x\right) = 4 x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&+x^{2}&{\color{DarkMagenta}+2 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{4}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{DarkMagenta}2 x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkMagenta}2 x}\\&&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{DarkMagenta}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&&4 x&+0&\end{array}$$

Steg 4

Dela den erhållna restens ledande term med delarens ledande term: $$$\frac{4 x}{x} = 4$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$4 \left(x-2\right) = 4 x-8$$$.

Subtrahera resten från det erhållna resultatet: $$$\left(4 x\right) - \left(4 x-8\right) = 8$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&+x^{2}&+2 x&{\color{Purple}+4}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{4}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&&2 x^{2}&+0 x&+0&\\&&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&&2 x^{2}&- 4 x&&\\\hline\\&&&&{\color{Purple}4 x}&+0&\frac{{\color{Purple}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Purple}4}\\&&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&&4 x&-8&{\color{Purple}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&&8&\end{array}$$

Eftersom graden av resten är mindre än graden av delaren, är vi klara.

Den resulterande tabellen visas återigen:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{DeepPink}x^{3}}&{\color{Chartreuse}+x^{2}}&{\color{DarkMagenta}+2 x}&{\color{Purple}+4}&&\text{Ledtrådar}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{DeepPink}x^{4}}&- x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DeepPink}x^{4}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DeepPink}x^{3}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- 2 x^{3}&&&&{\color{DeepPink}x^{3}} \left(x-2\right) = x^{4}- 2 x^{3}\\\hline\\&&{\color{Chartreuse}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Chartreuse}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Chartreuse}x^{2}}\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{Chartreuse}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&&{\color{DarkMagenta}2 x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkMagenta}2 x}\\&&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{DarkMagenta}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&&{\color{Purple}4 x}&+0&\frac{{\color{Purple}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Purple}4}\\&&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&&4 x&-8&{\color{Purple}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&&8&\end{array}$$

Således, $$$\frac{x^{3} \left(x - 1\right)}{x - 2} = \left(x^{3} + x^{2} + 2 x + 4\right) + \frac{8}{x - 2}$$$.