Dividera $$$x^{4}$$$ med $$$x^{2} - 1$$$

Skriv problemet i specialformatet (saknade termer skrivs med koefficienten noll):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}-1&x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Steg 1

Dividera den ledande termen i täljaren med den ledande termen i delaren: $$$\frac{x^{4}}{x^{2}} = x^{2}$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$x^{2} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}$$$.

Subtrahera dividenden från det erhållna resultatet: $$$\left(x^{4}\right) - \left(x^{4}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Crimson}x^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{Crimson}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Crimson}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Crimson}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Crimson}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Steg 2

Dela den erhållna restens ledande term med delarens ledande term: $$$\frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$1 \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1$$$.

Subtrahera resten från det erhållna resultatet: $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{2}&{\color{DarkCyan}+1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{DarkCyan}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkCyan}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DarkCyan}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{DarkCyan}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Eftersom graden av resten är mindre än graden av delaren, är vi klara.

Den resulterande tabellen visas återigen:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Crimson}x^{2}}&{\color{DarkCyan}+1}&&&&\text{Ledtrådar}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{Crimson}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Crimson}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Crimson}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Crimson}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&{\color{DarkCyan}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkCyan}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DarkCyan}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{DarkCyan}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Således, $$$\frac{x^{4}}{x^{2} - 1} = \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2} - 1}$$$.