Dividera $$$x^{3} - 2 x^{2}$$$ med $$$x^{2} + 1$$$

Skriv problemet i specialformatet (saknade termer skrivs med koefficienten noll):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}+1&x^{3}- 2 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Steg 1

Dividera den ledande termen i täljaren med den ledande termen i delaren: $$$\frac{x^{3}}{x^{2}} = x$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$x \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x$$$.

Subtrahera dividenden från det erhållna resultatet: $$$\left(x^{3}- 2 x^{2}\right) - \left(x^{3}+x\right) = - 2 x^{2}- x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{BlueViolet}x}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{BlueViolet}x^{3}}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{BlueViolet}x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{BlueViolet}x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&{\color{BlueViolet}x} \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x\\\hline\\&&- 2 x^{2}&- x&+0&\end{array}$$

Steg 2

Dela den erhållna restens ledande term med delarens ledande term: $$$\frac{- 2 x^{2}}{x^{2}} = -2$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$- 2 \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2$$$.

Subtrahera resten från det erhållna resultatet: $$$\left(- 2 x^{2}- x\right) - \left(- 2 x^{2}-2\right) = - x+2$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x&{\color{Green}-2}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&x^{3}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&\\\hline\\&&{\color{Green}- 2 x^{2}}&- x&+0&\frac{{\color{Green}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Green}-2}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&+0 x&-2&{\color{Green}-2} \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2\\\hline\\&&&- x&+2&\end{array}$$

Eftersom graden av resten är mindre än graden av delaren, är vi klara.

Den resulterande tabellen visas återigen:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{BlueViolet}x}&{\color{Green}-2}&&&\text{Ledtrådar}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{BlueViolet}x^{3}}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{BlueViolet}x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{BlueViolet}x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&{\color{BlueViolet}x} \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x\\\hline\\&&{\color{Green}- 2 x^{2}}&- x&+0&\frac{{\color{Green}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Green}-2}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&+0 x&-2&{\color{Green}-2} \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2\\\hline\\&&&- x&+2&\end{array}$$

Således, $$$\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x^{2} + 1} = \left(x - 2\right) + \frac{2 - x}{x^{2} + 1}$$$.