Dividera $$$y^{3}$$$ med $$$1 - y$$$

Skriv problemet i specialformatet (saknade termer skrivs med koefficienten noll):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- y+1&y^{3}+0 y^{2}+0 y+0\end{array}$$$

Steg 1

Dividera den ledande termen i täljaren med den ledande termen i delaren: $$$\frac{y^{3}}{- y} = - y^{2}$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$- y^{2} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}$$$.

Subtrahera dividenden från det erhållna resultatet: $$$\left(y^{3}\right) - \left(y^{3}- y^{2}\right) = y^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Green}- y^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{Green}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{Green}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Green}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{Green}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\end{array}$$

Steg 2

Dela den erhållna restens ledande term med delarens ledande term: $$$\frac{y^{2}}{- y} = - y$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$- y \left(- y+1\right) = y^{2}- y$$$.

Subtrahera resten från det erhållna resultatet: $$$\left(y^{2}\right) - \left(y^{2}- y\right) = y$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&{\color{DarkBlue}- y}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{DarkBlue}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{DarkBlue}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{DarkBlue}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{DarkBlue}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&y&+0&\end{array}$$

Steg 3

Dela den erhållna restens ledande term med delarens ledande term: $$$\frac{y}{- y} = -1$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$- \left(- y+1\right) = y-1$$$.

Subtrahera resten från det erhållna resultatet: $$$\left(y\right) - \left(y-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&- y&{\color{OrangeRed}-1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}y}&+0&\frac{{\color{OrangeRed}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{OrangeRed}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{OrangeRed}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Eftersom graden av resten är mindre än graden av delaren, är vi klara.

Den resulterande tabellen visas återigen:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Green}- y^{2}}&{\color{DarkBlue}- y}&{\color{OrangeRed}-1}&&\text{Ledtrådar}\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{Green}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{Green}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Green}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{Green}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&{\color{DarkBlue}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{DarkBlue}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{DarkBlue}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{DarkBlue}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}y}&+0&\frac{{\color{OrangeRed}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{OrangeRed}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{OrangeRed}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Således, $$$\frac{y^{3}}{1 - y} = \left(- y^{2} - y - 1\right) + \frac{1}{1 - y}$$$.