Dividera $$$v^{4}$$$ med $$$v^{2} + 1$$$

Skriv problemet i specialformatet (saknade termer skrivs med koefficienten noll):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\v^{2}+1&v^{4}+0 v^{3}+0 v^{2}+0 v+0\end{array}$$$

Steg 1

Dividera den ledande termen i täljaren med den ledande termen i delaren: $$$\frac{v^{4}}{v^{2}} = v^{2}$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$v^{2} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}$$$.

Subtrahera dividenden från det erhållna resultatet: $$$\left(v^{4}\right) - \left(v^{4}+v^{2}\right) = - v^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Purple}v^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{Purple}v^{4}}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{Purple}v^{4}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Purple}v^{2}}\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&{\color{Purple}v^{2}} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}\\\hline\\&&&- v^{2}&+0 v&+0&\end{array}$$

Steg 2

Dela den erhållna restens ledande term med delarens ledande term: $$$\frac{- v^{2}}{v^{2}} = -1$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$- \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1$$$.

Subtrahera resten från det erhållna resultatet: $$$\left(- v^{2}\right) - \left(- v^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&v^{2}&{\color{Fuchsia}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&v^{4}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Fuchsia}- v^{2}}&+0 v&+0&\frac{{\color{Fuchsia}- v^{2}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Fuchsia}-1}\\&&&-\phantom{- v^{2}}&&&\\&&&- v^{2}&+0 v&-1&{\color{Fuchsia}-1} \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Eftersom graden av resten är mindre än graden av delaren, är vi klara.

Den resulterande tabellen visas återigen:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Purple}v^{2}}&{\color{Fuchsia}-1}&&&&\text{Ledtrådar}\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{Purple}v^{4}}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{Purple}v^{4}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Purple}v^{2}}\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&{\color{Purple}v^{2}} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}\\\hline\\&&&{\color{Fuchsia}- v^{2}}&+0 v&+0&\frac{{\color{Fuchsia}- v^{2}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Fuchsia}-1}\\&&&-\phantom{- v^{2}}&&&\\&&&- v^{2}&+0 v&-1&{\color{Fuchsia}-1} \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Således, $$$\frac{v^{4}}{v^{2} + 1} = \left(v^{2} - 1\right) + \frac{1}{v^{2} + 1}$$$.